2024年北方工業大學非全日制研究生招生考試《高等代數》考試大綱
一、考試性質與范圍
《高等代數》是數學類各專業的一門重要的專業基礎必修課。它具有較強的抽象性、邏輯性。高等代數在數學的其它分支以及其它各個學科中都有著廣泛的實際應用。
考試范圍包括多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ—矩陣、歐氏空間。
二、考試基本要求
要求學生必須掌握《高等代數》的基本概念、定理和性質;能夠運用高等代數的基本理論和方法解決代數問題，具備一定的計算和證明能力;能夠分析和理解代數結構的性質和相互關系，具備抽象思維和邏輯推理能力。
三、考試形式與分值
1. 閉卷，筆試;
2. 滿分為 150 分;
3. 題型為填空、選擇、計算、證明等。
四、考試內容
1. 多項式
數域的概念;一元多項式環的概念;帶余除法，整除及其性質; 最大公因式的概念和有關定理;輾轉相除法求最大公因式;互素的概念;互素的充要條件及有關結論;不可約多項式的概念和性質;數域P 上的因式分解及唯一性定理;重因式的概念和判定方法及有關推論; 多項式函數的概念;余數定理;根與一次因式的關系;多項式與其根的聯系、多項式與其值的聯系;代數基本定理;復系數多項式因式分解定理和實系數多項式因式分解定理;本原多項式的概念;高斯定理; 整系數多項式的全部有理根的方法;艾森斯坦因判別法。
2. 行列式
排列及其逆序數和奇偶性的概念;對換的概念及其對排列的奇偶性的作用;n 級行列式的概念;n 級行列式的性質;行列式計算方法; 矩陣及其初等變換的概念;矩陣化為階梯矩陣并由此求其行列式的方法;行列式按一行(列)展開定理;克蘭姆法則。
3. 線性方程組
消元法(用初等變換化線性方程組為階梯形，判斷線性方程組和非線性方程組的解的情況，求一般解);n 維向量空間的概念;向量組的線性相關、線性無關概念及與線性關系有關的重要結論;向量組的最大無關組及向量組的秩的概念;矩陣的秩的概念;非齊次線性方程組有解的充要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件;線性方程組的基礎解系、通解等概念及解的結構。
4. 矩陣
矩陣的概念;矩陣的線性運算、乘法、轉置及運算規律;矩陣乘積的行列式與秩;逆矩陣的概念及其存在的充分必要條件和有關性質; 分塊矩陣及其運算;由矩陣的初等變換理解矩陣的等價、秩、逆的概念;用初等變換求矩陣秩的方法;分塊矩陣的初等變換。
5.二次型
二次型的定義及二次型的矩陣表示;合同變換;二次型的標準型;規范形的概念及其唯一性;慣性定理;二次型的分類及相關結論;正定二次型的概念及其判別法則;正定矩陣的概念及相關結論。
6. 線性空間
映射的概念及相關結論;線性空間的概念及相關結論;維數、基與坐標的概念及相關結論;基變換及過渡矩陣和坐標變換公式;線性子空間的概念及相關結論;子空間的交、和、直和的概念和相關結論; 同構的概念及相關結論。
7. 線性變換
線性變換的定義;線性變換的運算和簡單性質;線性變換在基下的矩陣及有關定理;線性變換的特征值和特征向量;特征多項式及有關性質;線性變換的值域與核的定義和有關定理;不變子空間的定義和有關結論;若當標準形;最小多項式的概念和應用。
8. λ-矩陣
λ-矩陣的概念;初等變換化λ-矩陣成為標準形;不變因子;矩陣相似的條件;行列式因子;初等因子;化復數域矩陣成為若當標準形的方法。
9. 歐幾里得空間
歐幾里得空間的概念和性質;標準正交基的概念及相關結論;歐氏空間的同構的概念及相關結論;正交變換及正交矩陣的概念及相關結論;子空間的概念;子空間的正交及相關結論;實對稱矩陣的標準形;向量到子空間的距離;最小二乘法。
五、參考書目
1. 《高等代數》(第五版)，北京大學數學系幾何與代數教研室編，高等教育出版社，2019 年;
2. 《高等代數》(上下冊)(第二版)，丘維聲，清華大學出版社，2019 年。
您填的信息已提交,老師會在24小時之內與您聯系
如果還有其他疑問請撥打以下電話
北京大學
中國人民大學
中國政法大學
清華大學
對外經濟貿易大學
微信小程序
微信公眾號
在職研APP
