一、總體要求

　　對(duì)高等代數(shù)基本概念把握準(zhǔn)確，掌握高等代數(shù)課程中的基本理論和基本方法，考查綜合運(yùn)用所 學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

　　二、內(nèi)容

　　1. 矩陣

　　(1) 理解矩陣的基本概念, 熟悉常見的特殊矩陣;

　　(2) 理解并且掌握矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置、乘法和求逆運(yùn)算;

　　(3) 理解逆矩陣的概念、性質(zhì)及其若干等價(jià)刻畫, 掌握逆矩陣計(jì)算的基本原理;

　　(4) 理解初等變換與初等矩陣的關(guān)系, 掌握消元法求解方程組的方法, 掌握初等變換化矩陣為行簡(jiǎn)化階梯型的方法;

　　(5) 掌握矩陣的常見分塊方法.

　　2. 行列式

　　(1) 理解行列式的遞歸定義, 了解行列式定義的幾何意義;

　　(2) 理解行列式的若干基本性質(zhì);

　　(3) 熟練掌握行列式的多種基本計(jì)算方法與技巧;

　　(4) 了解行列式展開的拉普拉斯定理;

　　(5) 理解伴隨矩陣的概念、性質(zhì)與計(jì)算, 理解克蘭姆法則求解非齊次線性方程組的基本原理;

　　(6) 理解矩陣秩的概念及其相關(guān)性質(zhì), 熟練掌握分塊矩陣初等變換證明矩陣秩等式與不等式的方法.

　　3. n 維向量空間

　　(1) 掌握數(shù)域上 n 維向量空間中的各種基本概念;

　　(2) 理解向量組的線性組合、線性表出與線性相關(guān)性等基本概念、性質(zhì)與相關(guān)定理;

　　(3) 理解向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組的基本概念;

　　(4) 理解一般線性方程組解的結(jié)構(gòu), 熟練掌握線性方程組求解的基本方法.

　　4. 線性空間

　　(1) 理解 F-空間的各種基本概念, 如線性運(yùn)算、維數(shù)、基與坐標(biāo)、基變換與子空間等;

　　(2) 理解子空間的交、和的基本概念、性質(zhì)與定理;

　　(3) 理解兩個(gè)子空間直和的概念, 掌握兩個(gè)子空間做成直和的若干等價(jià)刻畫,了解多個(gè)子空間直和的概念與刻畫;

　　(4) 理解線性空間同構(gòu)的概念與性質(zhì).

　　5. 線性變換

　　(1) 理解線性映射、線性變換的概念, 性質(zhì).

　　(2) 對(duì)給定的線性空間, 理解經(jīng)由基底線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)以及運(yùn)算上面的對(duì)應(yīng). 能熟練運(yùn)用這種對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

　　(3) 理解線性變換的特征值, 特征向量; 矩陣的特征值, 特征向量. 理解二者之間的密切聯(lián)系. 能熟練的計(jì)算特征值和特征向量.

　　(4) 理解線性變換(矩陣)特征值, 特征向量與矩陣相似對(duì)角化的關(guān)系, 并能熟練的進(jìn)行計(jì)算.

　　(5) 理解線性變換的值域和核的概念, 不變子空間的概念及其與矩陣化簡(jiǎn)的關(guān)系.

　　(6) 理解對(duì)偶空間的定義及性質(zhì).

　　6. Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形與λ-矩陣

　　(1) 理解矩陣最小多項(xiàng)式的概念, 與特征多項(xiàng)式和零化多項(xiàng)式的緊密關(guān)聯(lián), 最小多項(xiàng)式與相似對(duì)角化的關(guān)系.

　　(2) 理解冪零與半單線性變換的概念和性質(zhì), 掌握中國(guó)剩余定理及其計(jì)算. (3)了解矩陣的 Jordan-Chevalley 分解, 了解循環(huán)不變子空間的概念.

　　(4) 理解λ-矩陣的概念和性質(zhì), 相抵標(biāo)準(zhǔn)形的存在唯一性, 掌握相抵標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算.

　　(5) 理解λ-矩陣相抵與矩陣相似的關(guān)系, 理解矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形.

　　(6) 理解初等因子的概念和性質(zhì), 理解 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)論、計(jì)算及其應(yīng)用.

　　7. 歐氏空間

　　(1) 理解歐氏空間的定義及性質(zhì), 了解歐氏空間同構(gòu)的意義和結(jié)論, 了解 QR 分解與 LU 分解;

　　(2) 理解歐氏空間中內(nèi)積, 長(zhǎng)度, 夾角, 在給定基下度量矩陣的概念, 掌握 Cauchy 不等式的證明及其應(yīng)用;

　　(3) 理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的相關(guān)概念和性質(zhì), 掌握 Scmidt 正交化方法

　　(4) 掌握正交變換, 正交矩陣以及標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的關(guān)系, 并能靈活運(yùn)用實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

　　(5) 掌握實(shí)對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的理論, 計(jì)算以及應(yīng)用.

　　8. 二次型與雙線性函數(shù)

　　(1) 理解二次型及其矩陣表示, 合同變換與合同矩陣, 二次型的秩等概念

　　(2) 掌握用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 了解慣性定理, 了解標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形, 掌握二次型及其矩陣的正定性判定與計(jì)算.

　　(3) 掌握用正交替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算.

　　(4) 了解雙線性函數(shù)的定義, 概念及其性質(zhì).