一、考試要求

　　數學分析適用于河北工業大學理學院數學專業研究生招生專業課考試。主要考察數學分析基本概念、基本理論和基本方法以及運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

　　二、考試形式

　　試卷采用客觀題型和主觀題型相結合的形式，主要包括計算題、證明題等。考試時間為 3 小時，總分為 150 分。

　　三、考試內容

　　(一)變量與函數

　　函數的概念、復合函數和反函數、基本初等函數。

　　(二)極限與連續

　　1. 數列極限和無窮大量：數列極限的定義、性質、運算，單調有界數列，無窮大量的 定義、性質及運算。

　　2. 函數極限：函數在一點的極限，函數極限的性質和運算，單側極限，函數在無窮遠處 的極限，函數值趨于無窮大的情形，重要極限。

　　3. 連續函數：連續的定義、連續函數的性質和運算，不連續點的類型，閉區間上連續函 數的性質。

　　4. 無窮大量和無窮小量的階。

　　(三)關于實數的基本定理及閉區間上連續函數性質的證明

　　1. 關于實數基本定理：子列的概念，上(下)確界，區間套定理，致密性定理，Cauchy 收斂原理，有限覆蓋定理。

　　2. 閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理，最大和最小值定理，零點存在定理， 反函數連續性定理，一致連續性定理。

　　(四)導數與微分

　　1. 導數的定義,導數的幾何意義和物理意義。

　　2. 簡單函數的導數:常數函數的導數，三角函數的導數，對數函數的導數，冪函數的導

　　數。

　　3. 求導法則：導數的四則運算，反函數的導數，復合函數的導數。

　　4. 微分及其運算：微分的定義，微分的運算法則。

　　5. 隱函數及參數方程所表示函數的求導。

　　6. 高階導數與高階微分：高階導數的運算法則，高階微分。

　　(五)微分學的基本定理及其應用

　　1.中值定理：Fermat 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理。2.Taylor 公式和近似計算 Taylor 公式。

　　3. 函數的單調性、極值與凸性。

　　4. 平面曲線的曲率。

　　5. 待定型 洛必達法則。

　　6. 方程的近似解。

　　(六)不定積分

　　1. 不定積分的概念及其運算法則。

　　2. 不定積分的計算：換元積分法，分步積分法，有理函數積分法。

　　(七)定積分

　　1. 定積分的概念。

　　2. 定積分存在的條件：定積分存在的充分必要條件，可積函數類。

　　3. 定積分的性質。

　　4. 定積分的計算：基本公式，換元積分法，分步積分公式。

　　(八)定積分的應用和近似計算1.平面圖形的面積。

　　2. 曲線的弧長。

　　3. 體積。

　　4. 旋轉曲面的面積。

　　5. 質心。

　　6. 平均值、功的計算。

　　7. 定積分的近似計算。

　　(九)數項級數

　　1. 數列的上、下極限。

　　2. 級數收斂性及其基本性質。

　　3. 正項級數及其收斂的判別法。

　　4. 任意項級數：絕對收斂級數，交錯級數，條件收斂判別法。

　　5. 絕對收斂級數和條件收斂級數的性質。

　　6. 無窮乘積。

　　(十)反常(廣義)積分

　　1. 無窮限反常積分：無窮限反常積分的概念，無窮限反常積分和數項級數的關系，無 窮限反常積分收斂性判別法。

　　2. 無界函數的反常積分：無界函數的反常積分的概念和收斂判別法，反常積分的主值。

　　(十一)函數項級數、冪級數

　　1. 函數項級數一致收斂：一致收斂的定義，一致收斂級數的性質，一致收斂級數的判 別法。

　　2. 冪級數：收斂半徑，冪級數的性質和函數的冪級數展開。

　　3. 逼近定理。

　　(十二)傅里葉級數和傅里葉變換

　　1. 函數的傅里葉級數展開：三角函數系的正交性，傅里葉級數的系數，傅里葉級數的 復數形式，傅里葉級數的收斂性定理。

　　2. 傅里葉變換：傅里葉變換的概念和性質。

　　(十三)多元函數的極限與連續

　　1. 平面點集：鄰域、點列和極限，開集、閉集和區域，平面點集的基本定理——矩形 套定理、致密性定理、有限覆蓋定理、Cauchu 收斂原理。

　　2. 多元函數的極限與連續：多元函數的概念，二元函數的極限、連續性，有界閉區域 上連續函數的性質，二次極限和二重極限。

　　(十四)偏導數與全微分

　　1. 偏導數與全微分的概念：偏導數的定義，全微分的定義，高階偏導數和高階全微分。

　　2. 求復合函數偏導數的鏈式法則。

　　3. 由方程(組)所確定的函數的求導法：一個方程的情形，方程組的情形。

　　4. 空間曲線的切線與法平面。

　　5. 曲面的切平面與法線。

　　6. 方向導數和梯度。

　　7. 多元函數的泰勒公式。

　　(十五)極值和條件極值1.極值和最小二乘法。

　　2.條件極值。

　　(十六)隱函數存在定理、函數相關

　　1. 隱函數存在定理：一個方程的情形，方程組的情形。

　　2. 函數行列式的性質和函數相關。

　　(十七)含參變量的積分

　　含參變量積分的連續性、可微性及交換積分次序的定理。

　　(十八)含參變量的廣義積分1.一致收斂性的定義。

　　2. 一致收斂積分的判別法。

　　3. 一致收斂積分的性質。

　　4. 阿貝爾判別法和狄立克萊判別法。

　　5. 歐拉積分。

　　(十九)積分的定義和性質

　　1. 二重積分、三重積分、第一類曲線積分、曲面積分的概念。

　　2. 積分的性質。

　　(二十)重積分的計算和應用

　　1. 二重積分的計算：化二重積分為二次積分，用極坐標計算二重積分，二重積分的一 般變量替換。

　　2. 三重積分的計算：化三重積分為三次積分，三重積分的變量替換。

　　3. 積分在物理上的應用 質心、矩、引力。

　　4. 廣義重積分。

　　(二十一)曲線積分和曲面積分的計算1.第一類曲線積分的計算。

　　2. 第一類曲面積分的計算：曲面積分，曲面積分的計算。

　　3. 第二類曲線積分：物理意義，第二類曲線積分的計算，兩類曲線積分的聯系。

　　4. 第二類曲面：曲面的側，第二類曲面積分的定義，兩類曲面積分的聯系，第二類曲 面積分的計算。

　　(二十二)各種積分間的聯系和場論初步

　　1. 各種積分間的聯系：格林(Green)公式，高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes) 公式。

　　2. 曲線積分和路徑無關的條件。

　　3. 場論初步 場的概念，散度與旋度，保守場，Laplace 算子。

　　四、參考書目

　　[1] 《數學分析》，主編：歐陽光中，高等教育出版社

　　[2] 《數學分析》，主編：華東師范大學數學系，高等教育出版社