2024年中國科學院大學非全日制研究生招生考試《數學分析》考試大綱
(一)考試內容
1. 分析基礎
(1) 實數概念、確界
(2) 函數概念
(3) 序列極限與函數極限
(4) 無窮大與無窮小
(5) 上極限與下極限
(6) 連續概念及基本性質，一致連續性
(7) 收斂原理
2. 一元微分學
(1) 導數概念及幾何意義
(2) 求導公式求導法則
(3) 高階導數
(4) 微分
(5) 微分中值定理
(6) L’Hospital 法則
(7) Taylor 公式
(8) 應用導數研究函數
3. 一元積分學
(1) 不定積分法與可積函數類
(2) 定積分的概念、性質與計算
(3) 定積分的應用
(4) 廣義積分
4. 級數
(1) 數項級數的斂散判別與性質
(2) 函數項級數與一致收斂性
(3) 冪級數
(4) Fourier 級數
5. 多元微分學
(1) 歐氏空間
(2) 多元函數的極限
(3) 多元連續函數
(4) 偏導數與微分
(5) 隱函數定理
(6) Taylor 公式
(7) 多元微分學的幾何應用
(8) 多元函數的極值
6. 多元積分學
(1) 重積分的概念與性質
(2) 重積分的計算
(3) 二重、三重廣義積分
(4) 含參變量的正常積分和廣義積分
(5) 曲線積分與 Green 公式
(6) 曲面積分
(7) Gauss 公式、Stokes 公式及線積分與路徑無關
(8) 場論初步
(二)考試要求
1. 分析基礎
(1) 了解實數公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對值不等式及平均值不等式。
(2) 熟練掌握函數概念(如定義域、值域、反函數等)。
(3) 掌握序列極限的意義、性質(特別，單調序列的極限存在性定理)和運算法則，熟練掌握求序列極限的e - N 方法。
(4) 掌握函數極限的意義、性質和運算法則(自變量趨于有限數和趨于無限兩種情形)，熟練掌握求函數極限的e - d 方法，了解廣義極限和單側極限的意義。
(5) 熟練掌握求序列極限和函數極限的常用方法(如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等)，掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧，以及應用 Stolz 公式求序列極限的方法。
(6) 理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高(低)階無窮大(小)量的意義。
(7) 了解上極限和下極限的意義和性質。
(8) 熟練掌握函數在一點及在一個區間上連續的概念，理解函數兩類間斷點的意義，掌握初等函數的連續性，理解區間套定理和介值定理。理解一致連續和不一致連續的概念。
(9) 掌握序列收斂的充分必要條件及函數極限(當自變量趨于有限數及趨于無窮兩種情形)存在的充分必要條件。
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