第一部分 考試說明

　　一、 考試性質

　　高等代數是為全國碩士研究生入學考試數學與統計學學院數學各專業及研究方向設置的考試課程之一。要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念及基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　二、 考試范圍

　　多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ- 矩陣、歐氏空間。

　　三、 考試形式與試卷結構

　　1. 答卷方式：閉卷，筆試；

　　2. 答題時間：180 分鐘；

　　3. 試卷滿分：150 分；

　　4. 題型結構：計算題、證明題、綜合題。

　　第二部分 考查要點

　　一、 多項式

　　1. 數域與一元多項式的概念；

　　2. 多項式整除、帶余除法、最大公因式的存在唯一性、輾轉相除法；

　　3. 互素的性質和判定；

　　4. 不可約多項式及其性質、因式分解定理；

　　5. 重因式的判定與求法、重因式與重根；

　　6. 多項式函數、余數定理、多項式的根及性質；

　　7. 代數基本定理、復系數與實系數多項式的因式分解；

　　8. 本原多項式、高斯(Gauss)引理、有理系數多項式的因式分解、愛森斯坦因(Eisenstein)判別法、有理數域上多項式的有理根。

　　二、 行列式

　　1. 行列式的定義；

　　2. 行列式的性質；

　　3. 行列式的計算；

　　4. 行列式按一行(列)展開；

　　5. 拉普拉斯(Laplace)展開定理；

　　6. 克拉默(Cramer)法則。

　　三、 線性方程組

　　1. 消元法解線性方程組、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解；

　　2. n 維向量空間的定義與基本性質；

　　3. 向量的線性組合、線性相關與線性無關、兩個向量組的等價；

　　4. 向量組的極大無關組、向量組的秩；

　　5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關系；

　　6. 線性方程組的有解判別定理、線性方程組解的結構；

　　7. 齊次線性方程組的基礎解系、解空間及其維數。

　　四、 矩陣

　　1. 矩陣的概念；

　　2. 矩陣的運算(加法、數乘、乘法、轉置等運算)及其運算律；

　　3. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關系；

　　4. 矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件；

　　5. 分塊矩陣及其運算與性質；

　　6. 初等變換、初等矩陣、矩陣的相抵等價標準形；

　　7. 分塊初等變換、分塊初等矩陣。

　　五、 二次型

　　1. 二次型及其矩陣表示、矩陣的合同；

　　2. 二次型的標準形、化二次型為標準形的配方法、初等變換法、正交變換法；

　　3. 復二次型的規范標準形、實二次型的規范標準形、慣性定理、正慣性指數、負慣性指數、符號差；

　　4. 正定、半正定二次型及正定、半正定矩陣。

　　六、 線性空間

　　1. 線性空間的定義與簡單性質；

　　2. 線性組合、線性相關、線性無關、線性表示、極大線性無關組；

　　3. 維數、基與坐標；

　　4. 基變換與坐標變換、過渡矩陣；

　　5. 線性子空間的定義與判別、子空間分解；

　　6. 子空間的交與和、維數公式；

　　7. 子空間的直和；

　　8. 線性空間的同構。

　　七、 線性變換

　　1. 線性變換的定義；

　　2. 線性變換的運算及其代數結構；

　　3. 線性變換的矩陣、相似矩陣；

　　4. 特征值與特征向量；

　　5. 可對角化的線性變換、可對角化的矩陣的判定和計算；

　　6. 線性變換的值域與核、秩與零度定理；

　　7. 不變子空間和導出變換；

　　8. 特征子空間、特征值的代數重數、幾何重數；

　　9. 零化多項式和極小多項式、凱萊-哈密爾頓(Cayley-Hamilton)定理。

　　八、 λ ?矩陣

　　1. λ ?矩陣、多項式矩陣和矩陣多項式；

　　2. λ ?矩陣在初等變換下的標準形；

　　3. 矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子；

　　4. 相似不變量、矩陣相似的條件；

　　5. 不變因子與矩陣的有理標準形的對應；

　　6. 初等因子與矩陣的若爾當標準形的對應；

　　7. 若爾當標準形及其對應的不變子空間分解；

　　8. 根子空間、循環子空間分解。

　　九、 歐氏空間

　　1. 內積和歐氏空間的定義與基本性質、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣；

　　2. 標準正交基、施密特(Schmidt)正交化方法、標準正交基的過渡矩陣、正交矩陣；

　　3. 歐氏空間的同構；

　　4. 正交變換判別及性質；

　　5. 正交子空間、正交補空間、正交投影；

　　6. 對稱變換的性質、實對稱矩陣的正交相似標準形、主軸定理、用正交變換化實二次型或實對稱矩陣為標準形；

　　7. 向量到子空間的距離、最小二乘法；

　　8. 極分解與奇異值分解。

　　第三部分 主要參考書目

　　1. 王萼芳，石生明修訂，北京大學數學系前代數小組編. 高等代數. 第五版. 北京：高等教育出版社，2019.5.

　　2. 徐運閣，章超，廖軍編，高等代數. 北京：科學出版社，2021.7.