2024年暨南大學非全日制研究生招生考試《高等代數》考試大綱
本《高等代數》考試大綱適用于暨南大學數學學科各專業(基礎數學、計算數學、概率論與數理統計、應用數學、運籌學與控制輪)碩士研究生入學考試。
高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。它的主要內容包括多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣理論、二次型理論、線性空間、線性變換、λ- 矩陣、歐氏空間。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。
一、考試的基本要求
要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析 問題和解決問題的能力。
二、考試內容
(一) 多項式
1. 一元多項式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、 重因式、根及重根、多項式函數的概念及判別;
2. 復根存在定理(代數基本定理);
3. 根與系數關系;
4. 一些重要定理的證明，如多項式的整除性質，Eisenstein 判別法，不可約多項式的性質，整系數多項式的因式分解定理等;
5. 運用多項式理論證明有關命題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質有關 的問題的證明與應用;
6. 用多項式函數方法證明有關結論。
(二) 行列式
1. n -級排列、對換、n -級排列的逆序及逆序數和奇偶性;
2. n -階行列式的定義，基本性質及常用計算方法(如三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行或一列展開法、Laplace 展開法、Vandermonde 行列式法);
3. Vandermonde 行列式;
4. 行列式的代數余子式。
(三) 線性方程組
1. 向量組線性相(無)關的判別及相應齊次線性方程組有(無)非零解的相關向 量判別法、行列式判別法;
2. 向量組的極大線性無關組的性質，向量組之間秩的大小關系定理及其三個推論， 向量組的秩的概念及計算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計算;
3. Cramer 法則，線性方程組有(無)解的判別定理，齊次線性方程組有(無)非零解的矩陣秩判別法、基礎解系的計算和性質、通解的求法;
4. 非齊次線性方程組的解法和解的結構定理。
(四) 矩陣理論
1. 矩陣基本運算、分塊矩陣運算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關的結論， 如有關矩陣秩的不等式;
2. 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關系和應用;
3. 矩陣的逆和矩陣的等價標準形的概念及計算，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩 和初等矩陣的關系，伴隨矩陣概念及性質;
4. 行列式乘積定理;
5. 矩陣的轉置及相關性質;
6. 一些特殊矩陣的常用性質，如，對角陣、三角陣、三對角陣、對稱矩陣、反對 稱矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣、正交矩陣等;
7. 矩陣的跡、方陣的多項式;
8. 矩陣的常用分解，如等價分解、滿秩分解、實可逆矩陣的正交三角分解、約當 分解;
9. 應用矩陣理論解決一些問題。
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