2024年湖南師范大學非全日制研究生招生考試《實變函數》考試大綱
考試內容及要點
(一)測度論與可測函數部分
1、n維歐式空間中的點集
考試內容：開集、閉集的構造、分離定理
考試要點：
要求考生熟練掌握開集閉集的概念及其構造定理。
要求考生理解Cantor集。
要求考生熟練掌握分離定理。
2、測度論
考試內容：ebesgue 外測度，可測集、可測集類
考試要點：
測度的定義和性質；
掌握ebesgue 外測度和測度的定義和基本性質；
練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質。
掌握零測集的性質；開集、閉集的可測性；
了解特殊的兩類集合，波雷耳集。
3、可測函數
考試內容：可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂
考試要點：
熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念；
理解葉果洛夫定理；
理解并掌握魯津定理及其逆定理；
熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese定理和ebesgue收斂定理
(二)ebesgue積分與不定積分部分
1、ebesgue積分的概念與性質
考試內容：勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理
考試要點：
理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運算， 勒貝格積分與Riemann積分的關系；
熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性；
熟練掌握一般可積函數的積分的定義和初等性質。
牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理， 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關積分與求導交換的定理。
2、微分和不定積分
考試內容：有界變差函數、絕對連續函數
考試要點：
熟練掌握有界變差的定義，理解ebesgue定理；
充分理解絕對連續函數，并理解絕對連續函數與不定積分的關系。
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